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ベジェ曲線の原理

ベジェ曲線はコンピュータを利用したソフトで多用される曲線の描画方法です。原理が分かりにくいので、動画で描画の過程を見てみました。
動画は洋裁CADのアニメーション機能を用いて描画しています。

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ベジェ曲線は梯子で理解する

ベジェ曲線を描画するには2本の案内線を用います。この線を梯子と考えてみましょう。双方の梯子には同じ数で等間隔のステップがあります。
ベジェ曲線案内線

この梯子にもう3本目の梯子(茶色の線)をかけます。2本の梯子のそれぞれ0ステップめにかけ、その0ステップ目の位置に点(赤い点)を打ちます。 次に3本目の梯子を1ステップ目にかけ直し、3本目の1ステップ目に点を打ちます。
同様にして2ステップ目に梯子をかけて...を続け、同様に点を打ってゆきます。
2次ベジェ曲線 2次ベジェ曲線 2次ベジェ曲線

それぞれの点を結んだものが2次ベジェ曲線になります。
ステップの数を増やすと、下の動画のように滑らかな曲線になります。
2次ベジェ曲線の原理動画


3次ベジェ曲線の原理

曲線の描画には、2次ベジェ曲線よりも3次ベジェ曲線が多く用いられます。3次ベジェ曲線は、曲線の端が常に案内線に接するので、扱いやすいのだと思います。
2次/3次ベジェ曲線の違いは、梯子の数で、描画の原理は同じです。3次ベジェ曲線の描画には2次の倍、6本の梯子を用います。
3次ベジェ曲線の原理動画 3次ベジェ曲線の原理動画


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2次ベジェ曲線と3次ベジェ曲線の違い

左が2次ベジェ曲線、右が3次ベジェ曲線です。
3次ベジェ曲線は常に案内線に対して接して描画されます。また、凸の頂点が1つ、あるいは2つになることもあります。
2次ベジェ曲線 3次ベジェ曲線


案内線長さの影響

最後に案内線の長さの影響を比較してみましょう。
左が2次ベジェ曲線、右が3次ベジェ曲線です。
あまりに長いと2次、3次、ともに変な形になってしまいますね。
2次ベジェ曲線 3次ベジェ曲線


楕円近似と描画プログラム

ベジェ曲線を使い、楕円の近似曲線を描くことができます。 こちら
コンピュータ言語(Java)でベジェ曲線を描画する方法は。 こちら

最終更新日: 2017-10-15 11:06:40

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